Система центра масс: Система центра масс — Википедия – Центр масс — Википедия

Система центра масс — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Систе́ма це́нтра масс (систе́ма це́нтра ине́рции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (необязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

При рассмотрении задач рассеяния частиц термин «система центра масс» употребляется как антоним термина «лабораторная система отсчёта».

Если экспериментальные исследования проводятся в лабораторной системе, то есть в системе, связанной с наблюдателем (неподвижным относительно частицы-мишени), то теоретическое рассмотрение задач рассеяния удобно проводить в движущейся относительно мишени системе центра масс. При переходе от лабораторной системы в систему центра масс меняются определения углов рассеяния частиц, так что для сравнения теории с экспериментом необходимо проводить перерасчёт полученных сечений рассеяния.

Например, при изучении столкновения двух одинаковых частиц, одна из частиц (мишень) до столкновения остается неподвижной, вторая налетает с некоторой конечной скоростью. При упругом лобовом столкновении вторая частица останавливается, передавая всю свою кинетическую энергию и импульс первой частице. Такая картина наблюдается в лабораторной системе отсчета. С точки зрения системы центра масс, частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и после столкновения разлетаются в обе стороны с теми же (с точностью до знака) скоростями.

В нерелятивистском пределе координаты центра масс системы из n частиц, имеющих массы mk{\displaystyle m_{k}} и (в некоторой системе отсчёта К) радиус-векторы rk→{\displaystyle {\vec {r_{k}}}}:

R→′=∑k=1nrk→mk∑k=1nmk=∑k=1nrk→mkM{\displaystyle {\vec {R}}^{\prime }={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {r_{k}}}m_{k}}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{m_{k}}}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {r_{k}}}m_{k}}}{M}}}

(М — масса всей системы тел). Продифференцировав по времени, получим скорость движения центра масс

V→′=∑k=1nvk→mkM=∑k=1npk→M{\displaystyle {\vec {V}}^{\prime }={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{{\vec {v_{k}}}m_{k}}}{M}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\vec {p_{k}}}}{M}}}

(pk→{\displaystyle {\vec {p_{k}}}} — импульсы частиц), которую можно использовать для перехода от данной системы отсчёта К к системе центра масс, вычисляя скорости и радиус-векторы частиц в ней по формулам:

rk→′=rk→−R→′,{\displaystyle {\vec {r_{k}}}^{\prime }={\vec {r_{k}}}-{\vec {R}}^{\prime },}
vk→′=vk→−V→′.{\displaystyle {\vec {v_{k}}}^{\prime }={\vec {v_{k}}}-{\vec {V}}^{\prime }.}

В релятивистском случае центр масс не является лоренц-инвариантом, однако система центра масс определяется и играет важную роль в релятивистской кинематике. Систему центра масс в релятивистском случае следует определять как систему отсчёта, в которой сумма импульсов всех тел системы равна нулю.

  • Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд.. — М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432 с. — ISBN 5329007429.

Центр масс — Википедия

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.

Введение понятия центра тяжести удобно во многих приложениях механики и упрощает расчеты при использовании системы координат, связанной с центром масс. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то центр масс такой системы движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрения центров масс к решению геометрических задач, таких как теоремы Менелая и теоремы Чевы.[2]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[3]:

r→c=∑imir→i∑imi,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

где r→c{\displaystyle {\vec {r}}_{c}} — радиус-вектор центра масс, r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} — радиус-вектор i-й точки системы, mi{\displaystyle m_{i}} — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r→c=1M∫Vρ(r→)r→dV,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}
M=∫Vρ(r→)dV,{\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

где M{\displaystyle M} — суммарная масса системы, V{\displaystyle V} — объём, ρ{\displaystyle \rho } — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами Mi{\displaystyle M_{i}}, то радиус-вектор центра масс такой системы Rc{\displaystyle R_{c}} связан с радиус-векторами центров масс тел Rci{\displaystyle R_{ci}} соотношением

[4]:

R→c=∑iMiR→ci∑iMi.{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами M1,M2,...MN.{\displaystyle M_{1},M_{2},...M_{N}.} Радиус-вектор R→cn{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}} n{\displaystyle n}-ной системы:

R→cn=∑inminr→in∑inmin=∑inminr→inMn, n=1,2,...N.{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.}
R→c=∑n(∑inminr→inMn⋅Mn)∑nMn=∑iMiR→ci∑iMi.{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур[править | править код]

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

xs=Vy2πS{\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}} и ys=Vx2πS{\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}}, где Vx,Vy{\displaystyle V_{x},V_{y}} — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S{\displaystyle S} — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур[править | править код]

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике[править | править код]

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

r→c=∑ir→iEi∑iEi,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},}

где r→c{\displaystyle {\vec {r}}_{c}} — радиус-вектор центра масс, r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} — радиус-вектор i-й частицы системы, Ei{\displaystyle E_{i}} — полная энергия

i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[5].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

v→c=c2∑iEi⋅∑ip→i.{\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.}
Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

  1. Тарг С. М.  Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  2. ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
  3. ↑ Журавлёв, 2001, с. 66.
  4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Теорема о движении центра масс системы — Википедия

Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему[1][2].

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

  • система материальных точек;
  • протяжённое тело или система протяжённых тел;
  • вообще любая механическая система, состоящая из любых тел.

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание утверждения теоремы о движении центра масс системы, формулируется следующим образом[1]:

Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Пусть система состоит из N{\displaystyle N} материальных точек с массами mi{\displaystyle m_{i}} и радиус-векторами r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}. Как известно[1][3], центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка, радиус-вектор R→c{\displaystyle {\vec {R}}_{c}} которой удовлетворяет равенству

R→c=∑imir→iM,(1){\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}},\qquad \qquad (1)}

где M{\displaystyle M} — масса всей системы, равная ∑imi.{\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}.}

Дифференцируя (1) два раза по времени, для ускорения центра масс a→c{\displaystyle {\vec {a}}_{c}} получаем:

a→c=∑imia→iM,(2){\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}},\qquad \qquad (2)}

где a→i{\displaystyle {\vec {a}}_{i}} — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения целесообразно разделить все силы, действующие на тела системы, на два типа:

  • Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим F→i{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}.
  • Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать f→i,k{\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}. Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться f→k,i{\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}. Из сказанного очевидно, что если i=k{\displaystyle i=k}, то f→i,k=0.{\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=0.}

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

mia→i=F→i+∑kf→i,k.(3){\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad (3)}

Суммируя все уравнения вида (3), получим:

∑imia→i=∑iF→i+∑i∑kf→i,k.(4){\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad (4)}

Выражение ∑i∑kf→i,k{\displaystyle \sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}} представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе f→i,k{\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}} соответствует сила f→k,i{\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}} такая, что f→i,k=−f→k,i{\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}} и, значит, выполняется f→i,k+f→k,i=0.{\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.} Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, из (4) следует

∑imia→i=∑iF→i.(5){\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \qquad (5)}

Далее, обозначив ∑iF→i=F→{\displaystyle \sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}} и подставив полученное выражение в (2), приходим к уравнению

a→c=F→M{\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}} или к Ma→c=F→.(6){\displaystyle M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad (6)}

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Формула (6) является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Другая формулировка теоремы[править | править код]

Обратим внимание на то, что вид формулы (6) в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс

[1][3]:

Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Закон сохранения движения центра масс[править | править код]

Из (6) следует, что в отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается уравнением (6). Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно»[4]. Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их»[4].

Физические основы механики

Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус-вектор по следующему правилу:

где — радиус-вектор — той материальной точки системы, а — ее масса.

Радиус-вектор определяет положение в пространстве центра инерции (центра масс) системы.

Вовсе не обязательно, что в центре масс системы окажется какая-то материальная точка.

Пример. Найдем центр масс системы, состоящей из двух маленьких шариков — материальных точек, соединенных невесомым стержнем (рис. 3.29). Такая система тел называется гантелей.

Рис. 3.29. Центр масс гантели

Из рис. видно, что

и

Подставляя в эти равенства выражение для радиус-вектора центра масс

получим

и

Отсюда следует, что центр масс лежит на прямой, проходящей через центры шаров. Расстояния l1 и l2 между шарами и центром масс равны соответственно

Центр масс ближе к тому шарику, масса которого больше, что видно из отношения:

Определим, с какой скоростью движется центр инерции системы. Дифференцируем по времени обе части:

В числителе полученного выражения в правой части стоит сумма импульсов всех точек, то есть импульс системы. В знаменателе стоит полная масса системы

Мы получили, что скорость центра инерции связана с импульсом системы и ее полной массой таким же соотношением, какое справедливо для материальной точки:

Видео 3.11. Движение центра масс двух одинаковых тележек, связанных пружиной.

Таким образом, можно считать, что скорость VC является скоростью системы как целого. Она, разумеется, может отличаться от скоростей каждого из тел, входящих в систему.

Центр масс замкнутой системы движется всегда с постоянной скоростью, поскольку импульс такой системы сохраняется.

Если продифференцировать теперь выражение для импульса системы по времени и учесть, что производная импульса системы есть равнодействующая внешних сил, то получим уравнение движения центра масс системы в общем случае:

Видно, что

Центр масс системы движется точно так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всех частиц системы, под действием векторной суммы всех внешних сил, приложенных к системе.

Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.

Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю. Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе.

В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку в нашем теле небольшим объемом . Масса, заключенная в этом объеме, равна , где — плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему тела, так что для положения центра масс тела получается выражение

Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид

где — объем тела.

И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение, что

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием векторной суммы всех внешних сил,приложенных к телу.

Пример. Если снаряд взрывается в некоторой точке своей параболической траектории, то осколки летят по самым различным траекториям, но его центр масс продолжает движение по параболе.

Система центра масс - это... Что такое Система центра масс?

Систе́ма це́нтра масс (систе́ма це́нтра ине́рции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (не обязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

При рассмотрении задач рассеяния частиц термин «система центра масс» употребляется как антоним термина «лабораторная система отсчёта».

Если экспериментальные исследования проводятся в лабораторной системе, то есть в системе, связанной с наблюдателем (неподвижным относительно частицы-мишени), то теоретическое рассмотрение задач рассеяния удобно проводить в движущейся относительно мишени системе центра масс. При переходе от лабораторной системы в систему центра масс меняются определения углов рассеяния частиц, так что для сравнения теории с экспериментом необходимо проводить перерасчёт полученных сечений рассеяния.

Например, при изучении столкновения двух одинаковых частиц, одна из частиц (мишень) до столкновения остается неподвижной, вторая налетает с некоторой конечной скоростью. При упругом лобовом столкновении вторая частица останавливается, передавая всю свою кинетическую энергию и импульс первой частице. Такая картина наблюдается в лабораторной системе отсчета. С точки зрения системы центра масс, частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и после столкновения разлетаются в обе стороны с теми же (с точностью до знака) скоростями.

В нерелятивистском пределе координаты центра масс системы из n частиц, имеющих массы и (в некоторой системе отсчёта К) радиус-векторы :

(М — масса всей системы тел). Продифференцировав по времени, получим скорость движения центра масс

( — импульсы частиц), которую можно использовать для перехода от данной системы отсчёта К к системе центра масс, вычисляя скорости и радиус-векторы частиц в ней по формулам:

В релятивистском случае центр масс не является лоренц-инвариантом, однако система центра масс определяется и играет важную роль в релятивистской кинематике. Систему центра масс в релятивистском случае следует определять как систему отсчёта, в которой сумма импульсов всех тел системы равна нулю.

См. также

  • Лабораторная система отсчёта

Литература

Центр масс | Наука | Fandom

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).

    Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[2]:

    $ \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i}, $

    где $ \vec r_c $ — радиус-вектор центра масс, $ \vec r_i $ — радиус-вектор i-й точки системы, $ ~ m_i $ — масса i-й точки.

    Для случая непрерывного распределения масс:

    $ \vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV, $
    $ M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV, $

    где $ ~ M $ — суммарная масса системы, $ ~ V $ — объём, $ ~ \rho $ — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

    Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами $ M_i $, то радиус-вектор центра масс такой системы $ R_c $ связан с радиус-векторами центров масс тел $ R_{ci} $ соотношением[3]:

    $ \vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}. $

    Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

    Центры масс однородных фигур Править

    Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

    $ x_s = \frac{V_y}{2\pi S} $ и $ y_s = \frac{V_x}{2\pi S} $, где $ V_x, V_y $ — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, $ S $ — площадь фигуры.

    Понятие центра масс широко используется в механике и физике.

    Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

    Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

    Центр масс в релятивистской механике Править

    В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

    $ \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i}, $

    где $ \vec r_c $ — радиус-вектор центра масс, $ \vec r_i $ — радиус-вектор i-й частицы системы, $ ~ E_i $ — полная энергия i-й частицы.

    Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[4].

    Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

    Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

    $ \vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i. $

    Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

    Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

    В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

    По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не им

    Центр масс - это... Что такое Центр масс?

    Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не следует путать с центром тяжести.

    Определение

    Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

    где

     — радиус-вектор центра масс,
     — радиус-вектор i-й точки системы,
     — масса i-й точки.

    Для случая непрерывного распределения масс:

    где:

     — суммарная масса системы,
     — объём,
     — плотность.

    Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

    Центры масс однородных фигур

    • У отрезка — середина.
    • У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
    • У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.

    В механике

    Понятие центра масс широко используется в физике.

    Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

    Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

    Центр масс в релятивистской механике

    В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

    где

     — радиус-вектор центра масс,
     — радиус-вектор i-й частицы системы,
     — полная энергия i-й частицы.

    Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лившица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

    Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

    Центр тяжести

    Центр масс тела не следует путать с центром тяжести!

    Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

    В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

    По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

    См. также